Fraktál
Fraktál je množina, jejíž Hausdorffova dimenze je (ostře) větší než dimenze topologická. Lze jej také definovat poněkud jednodušeji (méně obecně) jako geometrický objekt, který má následující vlastnosti:
- je soběpodobný – znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku či rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar.
- mívá na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel.
Fraktály jsou na prvý pohled nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá, mají však často překvapivě jednoduchou matematickou strukturu.
Slovo “fraktál” má dva podobné významy. V hovorovém použití, to naznačuje tvar, který je rekurzívně budován nebo self-podobný, to je, tvar to vypadá podobné vůbec měřítka zvětšení a je proto často odkazoval se na jak “nekonečně komplex.” V matematice fraktál je geometrický objekt, který splní specifickou technickou podmínku, jmenovitě mít Hausdorff velikost větší než jeho rozměr topological. Termín fraktál byl vytvořen roku 1975 Benoît Mandelbrotem z latinského fractus, který znamená “zlomený” nebo “roztříštěný.”
Historie
Objekty, které se nyní nazývají fraktály, byly objeveny a zkoumány dlouho předtím, než bylo slovo vytvořeno. Ethnomatematika v podání Afrických fraktálů od Rona Englashe dokumentuje vše prostupující fraktální geometrii v původním africkém umění. V roce 1525 publikoval německý umělec Albrecht Dürer Příručku malířovu (The Painter's Manual) , v níž se jedna kapitola zabývá dlaždicovými vzory tvořenými pětiúhelníky Dürerův pětiúhelník se velmi podobá Sierpinskiho koberci, sestává však z pětiúhelníků namísto čtverců.
Myšlenka definování objektu pomocí sebe sama užitím soběpodobnosti byla původně vyvinuta filozofem Leibnizem, který navíc vypracoval několik dalších podrobností. Roku 1872 Karl Weierstrass objevil příklad funkce s neintuitivní schopností, která je v celém svém oboru spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci - graf této funkce bychom dnes nazývali fraktál. V roce 1904 Helge von Koch, nespokojený s Weierstrassovou velice abstraktní a analytickou definicí, podal více geometrickou definici podobné funkce, která se nyní nazývá Kochova vločka (někdy též Kochův ostrov). Myšlenka soběpodobných křivek byla později přejata Paulem Pierrem Lévym, který ve svém pojednání z r. 1938 Rovinné nebo vesmírné křivky a Povrchy sestávajících z částí podobných celku, popisoval novou fraktální křivku, Lévyho C křivku.
Georg Cantor dával příklady podmnožin reálné osy s neobvyklými vlastnostmi — tyto Cantorovy soubory jsou také nyní uznané jako fraktály. Iterace funkcí vyšetřovali na konci 19. století a na začátku 20. století Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, a Gaston Julia. Nicméně, bez pomoci moderní počítačové grafiky postrádali prostředky pro vizualizaci takového množtví objektů, které objevili.
V 60. letech začal Benoît Mandelbrot zkoumat soběpodobnost v takových dokumentech, jako Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistický sobě podobný a nepatrný rozměrTohle již dříve zpracoval Lewis Fry Richardson. V roce 1975, Mandelbrot razil slovo fraktál naznačovat objekt jehož Hausdorff-Besicovitchův rozměr je větší než jeho rozměr topologický. (Pro přesné definice si projděte články o těchto termínech.) Objasnil tuto matematickou definici překvapující vizualizací pomocí počítače. Tyto obrazce zachytily populární představivost; mnoho z nich jsou založeny na rekurzi a to vedlo k populárnímu významu termínu “fraktál”.
Fraktály buzení
- Tři obyčejné techniky pro fraktály buzení jsou:
- Opakované funkční systémy — Tito mají fixované geometrické nahrazené pravidlo. Cantor soubor, Sierpinski koberec, Sierpinski těsnění, Peano křivka, Koch snowflake, Harter-Heighway dračí křivka, T-čtvercový, Menger houba, jsou některé příklady takových fraktálů.
- Uniknout-fraktály času — Fraktály definované vztahem opakování u každého důvodu k prostoru (takový jako komplexní letadlo). Příklady tohoto typu jsou Mandelbrot soubor, hořící lodní fraktál a Lyapunov fraktál.
- Náhodné fraktály — Vytvořený stochastic spíše než deterministické procesy, například, fraktálové krajiny, Lévy let a Brownian strom. Druhé výnosy takzvaná hmota - nebo dendritické fraktály, například, rozšiřování limitovalo agregaci nebo reakce limitovala agregační skupiny.
- Fraktály mohou také být klasifikované shodovat se k jejich self-podoba. Jsou tam tři píše self-podoba nalezená v fraktálech:
- Přesný self-podoba — toto je nejsilnější typ self-podoba; fraktál vypadá totožný u různých měřítek. Fraktály definované opakovanými funkčními systémy často ukážou přesný self-podoba.
- Kvazi-self-podoba — toto je volná forma self-podoba; fraktál se objeví přibližně (ale ne přesně) totožný u různých měřítek. Kvazi-self-podobné fraktály obsahují malé kopie celého fraktálu v zdeformovaných a zvrhlých formách. Fraktály definované vztahy opakování jsou obvykle kvazi-self-podobný ale ne přesně self-podobný.
- Statistický self-podoba — toto je nejslabší typ self-podoba; fraktál má numerické nebo statistické míry, které jsou chráněny přes měřítka. Většina rozumných definic “fraktálového” trivially znamená, že někteří se tvoří statistický self-podoba. (Fraktálový rozměr sám je numerická míra, která je chráněna přes měřítka.) náhodné fraktály jsou příklady fraktálů, které jsou statisticky self-podobný, ale žádný přesně ani kvazi-self-podobný.
To by mělo být si všiml toho ne všichni self-podobné objekty jsou fraktály — např., reálná osa (rovná Euclidean linka) je přesně self-podobný, ale od jeho Hausdorff rozměr a rozměr topological jsou oba stejní s jedním, to není fraktál.
Fraktální Explorer je freeware fraktální generátor, který může produkovat tajemné a krásné matematicky-založené obrázky. Not just a tool for professionals, FE can provide hours of entertainment for beginners and experts alike ! Není to jen nástroj pro profesionály, může FE poskytovat hodiny zábavy pro začátečníky i experty!
Aplikace v oblasti grafického návrhu - program Sterling2 1.7
Volně šiřitelná aplikace Sterling2 je nástroj pro generování fraktálních obrázků. Aplikace poskytuje 50 různých algoritmů pro tvorbu fraktálních obrázků. Uživatelské rozhraní je přehledné a snadno ovladatelné. Při tvorbě máte plnou kontrolu nad barvami obrázku a dalšími parametry. Stažený archiv obsahuje instrukce pro práci s programem a vlastní aplikaci, kterou není nutné instalovat.
