Fraktály
Tak, jako v každé vědní disciplíně, i ve fraktální geometrii se po určitém čase začaly rozlišovat jednotlivé typy fraktálů. Toto rozlišení není zavedeno jen kvůli systematičnosti, ale i proto, že jednotlivé typy fraktálů jsou vhodné pro řešení určitého okruhu problémů, které se vyskytují v různých oborech. Také způsob vytváření (generování) se liší podle typu fraktálu.
Nejhrubší rozlišení fraktálů je následující:
L-systémy
Systémy iterovaných funkcí - IFS
Dynamické systémy
Nepravidelné fraktály (statisticky soběpodobné)
L-systémy
L-systémy (Lindenmayerovy systémy) jsou skupinou fraktálů definovaných pomocí přepisovacích gramatik. Název pochází z anglického sousloví LOGO-like turtle. LOGO byl programovací jazyk, ve kterém se pomocí jednoduchých příkazů daly pomocí želvy kreslit různé obrazce. Podstatou tvorby L-systémů je přepisování řetězců podle určitých pravidel. Každý symbol v řetězci má přiřazen jistý geometrický význam, například transformaci či generování objektu. Zajímavé obrazce se začnou tvořit, jestliže v LOGu použijeme iteraci, což odpovídá iteraci v gramatice (na pravé straně pravidla je nonterminální symbol shodný se symbolem na levé straně pravidla). S pomocí L-systémů lze generovat fraktály, které se podobají rostlinám, stromům a dalším přírodním útvarům. Poslední aplikace také směřují k využití těchto fraktálů při generování textur. Z toho, jak se fraktál generuje, je zřejmé, že jde o deterministický postup a výsledný fraktál je tedy též deterministický. Těmto fraktálům se také někdy říká graftály.
Systém iterovaných funkcí IFS
Systém iterovaných funkcí IFS je generativní metoda tvoření fraktálů. Tato metoda je vhodná jak pro generování fraktálů, tak i pro kompresi bitmapových obrazů, zavedeme-li tzv. inverzní úlohu. Zajímavé je, že tato metoda může být jak deterministická, tak i náhodná. Oboje však paradoxně vede ke stejnému výslednému fraktálu, použijeme-li dostatečný počet iterací. Tvorba fraktálů pomocí metody IFS je předmětem této diplomové práce, takže se o této metodě se zmíníme blíže v dalších kapitolách.
Dynamické systémy
Dynamické systémy jsou pravděpodobně tím typem fraktálů, který má v technické praxi nejšiřší uplatnění. Dynamický systém je matematický model, který je závislý na nějaké proměnné, většinou to bývá na čase. Dynamický systém vychází z počátečních podmínek a je jimi v čase determinován. Existují dynamické systémy, které se po určitém čase neustálí v pevném stavu, ale ani nedivergují. Tento případ, který připomíná iracionální čísla, má většinou fraktální dynamiku a označuje se termínem deterministický chaos.
Typickým příkladem dynamického systému s fraktální dynamikou je výpočet populačního růstu, který má tu zajímavou vlastnost, že volbou jediného parametru lze určit, zda systém bude ustálený, oscilující nebo chaotický. Při zkoumání dynamiky populačního růstu byly také objeveny některé konstanty, které mají obecnou platnost, podobně jako například konstanta , nebo základ přirozených logaritmů e. Dynamické systémy existují i v komplexní rovině. Tady jsou asi nejvíce známé Juliovy množiny a Mandelbrotova množina.
Dynamický systém - Mandelbrotova množina
Dynamický systém - Juliova množina
Znalost toho, zda nějaký systém je ustálený či zda směřuje k chaosu, je velmi důležitá pro výpočty nad tímto systémem. Pro chaotický systém (nebo fraktálně dynamický systém) nelze předpovědět stav systému v budoucnosti, aniž by se musel simulovat celý vývoj systému. Taktéž platí, že dynamické systémy jsou obecně velmi závislé na počátečních podmínkách, takže i nepatrná změna počátečních podmínek má za následek odlišné chování systému v budoucnosti.
Náhodné fraktály
Další skupinou fraktálů jsou nepravidelné fraktály. Zatímco všechny předchozí skupiny fraktálů byly v určitém smyslu symetrické, nepravidelné fraktály vnáší při generování fraktálu do algoritmu náhodu. Tento typ fraktálů také umožňuje nejlepší popis přírodních objektů. Zatímco při generování stromu klasickým L-systémem nebo IFS koláží dostaneme jako výsledek perfektně symetrický strom, je skutečnost už na první pohled zcela jiná. Strom rostoucí v přírodě má nepravidelné délky a tloušťky větví, úhel růstu větví také není vždy stejný, strom rostoucí v lese má jiný tvar než tentýž druh stromu rostoucí osamoceně apod. Proto je velmi vhodné zavést do generování fraktálů náhodu. Způsob, jakým se náhodnost bude podílet při generování fraktálů, bude vždy určovat tvar fraktálu i jeho Hausdorfovu dimenzi. Pro generování náhodných čísel se používá například gaussovský
generátor, nebo generátor bílého šumu. Náhodné fraktály můžeme vytvářet více způsoby:
Pomocí simulace Brownova pohybu (jak v ploše, tak i v prostoru)
Metodou přesouvání středního bodu
Spektrální syntézou
Simulace Brownova pohybu vytváří fraktální objekt, jehož Hausdorffova dimenze je úměrná absolutní velikosti změny při jednom kroku iterace. Tato metoda se používá například při generování toků řek. Není příliš vhodná pro trojrozměrné objekty. Mezi typické metody generování tohoto typu fraktálů je metoda přesouvání prostředního bodu, a to jak na ploše, tak i v prostoru. Tato metoda se velmi často používá v počítačové grafice k vygenerování a následné vizualizaci přírodní krajiny. Volbou maximální odchylky při posunu prostředního bodu potom lze měnit celkový ráz krajiny od pouště až po vysokohorskou krajinu. Další často používanou metodou je spektrální syntéza, která vychází z Fourierovy řady. Metoda spočívá v tom, že náhodně vygenerujeme Fourierovy obrazy, které mají spektrální hustotu úměrnou zadané Hausdorffově dimenzi. Potom provedeme inverzní Fourierovu transformaci s těmito koeficienty. Výsledkem je fraktální objekt. Pomocí této metody lze generovat hory či povrchy planet. Výhodou je, že lze přímo zadat požadovanou Hausdorffovu dimenzi výsledného objektu.
Pokročilý nástroj pro vytváření fraktálů a fraktálního umění. Díky množství různých algoritmů a barevných schémat jsou na výstupu plynulé a plnobarevné obrázky.
Vlastnosti:
• 24 bitová barevná hloubka
• mnohonásobné vrstvy se všemi módy slučování z Adobe Photoshopu
• rychlý kompilátor definic kompatibilní s FractIntem
• snadno použitelný editor barevných přechodů s průsvitností
• generování na disk pro vytvoření plakátů ve formátech BMP, JPEG, PSD, PNG, TGA a TIFF
• rozsáhlý katalog běžných definic s dokumentací
Nejhrubší rozlišení fraktálů je následující:
L-systémy
Systémy iterovaných funkcí - IFS
Dynamické systémy
Nepravidelné fraktály (statisticky soběpodobné)
L-systémy
L-systémy (Lindenmayerovy systémy) jsou skupinou fraktálů definovaných pomocí přepisovacích gramatik. Název pochází z anglického sousloví LOGO-like turtle. LOGO byl programovací jazyk, ve kterém se pomocí jednoduchých příkazů daly pomocí želvy kreslit různé obrazce. Podstatou tvorby L-systémů je přepisování řetězců podle určitých pravidel. Každý symbol v řetězci má přiřazen jistý geometrický význam, například transformaci či generování objektu. Zajímavé obrazce se začnou tvořit, jestliže v LOGu použijeme iteraci, což odpovídá iteraci v gramatice (na pravé straně pravidla je nonterminální symbol shodný se symbolem na levé straně pravidla). S pomocí L-systémů lze generovat fraktály, které se podobají rostlinám, stromům a dalším přírodním útvarům. Poslední aplikace také směřují k využití těchto fraktálů při generování textur. Z toho, jak se fraktál generuje, je zřejmé, že jde o deterministický postup a výsledný fraktál je tedy též deterministický. Těmto fraktálům se také někdy říká graftály.
Systém iterovaných funkcí IFS
Systém iterovaných funkcí IFS je generativní metoda tvoření fraktálů. Tato metoda je vhodná jak pro generování fraktálů, tak i pro kompresi bitmapových obrazů, zavedeme-li tzv. inverzní úlohu. Zajímavé je, že tato metoda může být jak deterministická, tak i náhodná. Oboje však paradoxně vede ke stejnému výslednému fraktálu, použijeme-li dostatečný počet iterací. Tvorba fraktálů pomocí metody IFS je předmětem této diplomové práce, takže se o této metodě se zmíníme blíže v dalších kapitolách.
Dynamické systémy
Dynamické systémy jsou pravděpodobně tím typem fraktálů, který má v technické praxi nejšiřší uplatnění. Dynamický systém je matematický model, který je závislý na nějaké proměnné, většinou to bývá na čase. Dynamický systém vychází z počátečních podmínek a je jimi v čase determinován. Existují dynamické systémy, které se po určitém čase neustálí v pevném stavu, ale ani nedivergují. Tento případ, který připomíná iracionální čísla, má většinou fraktální dynamiku a označuje se termínem deterministický chaos.
Typickým příkladem dynamického systému s fraktální dynamikou je výpočet populačního růstu, který má tu zajímavou vlastnost, že volbou jediného parametru lze určit, zda systém bude ustálený, oscilující nebo chaotický. Při zkoumání dynamiky populačního růstu byly také objeveny některé konstanty, které mají obecnou platnost, podobně jako například konstanta , nebo základ přirozených logaritmů e. Dynamické systémy existují i v komplexní rovině. Tady jsou asi nejvíce známé Juliovy množiny a Mandelbrotova množina.
Dynamický systém - Mandelbrotova množina
Dynamický systém - Juliova množina
Znalost toho, zda nějaký systém je ustálený či zda směřuje k chaosu, je velmi důležitá pro výpočty nad tímto systémem. Pro chaotický systém (nebo fraktálně dynamický systém) nelze předpovědět stav systému v budoucnosti, aniž by se musel simulovat celý vývoj systému. Taktéž platí, že dynamické systémy jsou obecně velmi závislé na počátečních podmínkách, takže i nepatrná změna počátečních podmínek má za následek odlišné chování systému v budoucnosti.
Náhodné fraktály
Další skupinou fraktálů jsou nepravidelné fraktály. Zatímco všechny předchozí skupiny fraktálů byly v určitém smyslu symetrické, nepravidelné fraktály vnáší při generování fraktálu do algoritmu náhodu. Tento typ fraktálů také umožňuje nejlepší popis přírodních objektů. Zatímco při generování stromu klasickým L-systémem nebo IFS koláží dostaneme jako výsledek perfektně symetrický strom, je skutečnost už na první pohled zcela jiná. Strom rostoucí v přírodě má nepravidelné délky a tloušťky větví, úhel růstu větví také není vždy stejný, strom rostoucí v lese má jiný tvar než tentýž druh stromu rostoucí osamoceně apod. Proto je velmi vhodné zavést do generování fraktálů náhodu. Způsob, jakým se náhodnost bude podílet při generování fraktálů, bude vždy určovat tvar fraktálu i jeho Hausdorfovu dimenzi. Pro generování náhodných čísel se používá například gaussovský
generátor, nebo generátor bílého šumu. Náhodné fraktály můžeme vytvářet více způsoby:
Pomocí simulace Brownova pohybu (jak v ploše, tak i v prostoru)
Metodou přesouvání středního bodu
Spektrální syntézou
Simulace Brownova pohybu vytváří fraktální objekt, jehož Hausdorffova dimenze je úměrná absolutní velikosti změny při jednom kroku iterace. Tato metoda se používá například při generování toků řek. Není příliš vhodná pro trojrozměrné objekty. Mezi typické metody generování tohoto typu fraktálů je metoda přesouvání prostředního bodu, a to jak na ploše, tak i v prostoru. Tato metoda se velmi často používá v počítačové grafice k vygenerování a následné vizualizaci přírodní krajiny. Volbou maximální odchylky při posunu prostředního bodu potom lze měnit celkový ráz krajiny od pouště až po vysokohorskou krajinu. Další často používanou metodou je spektrální syntéza, která vychází z Fourierovy řady. Metoda spočívá v tom, že náhodně vygenerujeme Fourierovy obrazy, které mají spektrální hustotu úměrnou zadané Hausdorffově dimenzi. Potom provedeme inverzní Fourierovu transformaci s těmito koeficienty. Výsledkem je fraktální objekt. Pomocí této metody lze generovat hory či povrchy planet. Výhodou je, že lze přímo zadat požadovanou Hausdorffovu dimenzi výsledného objektu.
Pokročilý nástroj pro vytváření fraktálů a fraktálního umění. Díky množství různých algoritmů a barevných schémat jsou na výstupu plynulé a plnobarevné obrázky.
Vlastnosti:
• 24 bitová barevná hloubka
• mnohonásobné vrstvy se všemi módy slučování z Adobe Photoshopu
• rychlý kompilátor definic kompatibilní s FractIntem
• snadno použitelný editor barevných přechodů s průsvitností
• generování na disk pro vytvoření plakátů ve formátech BMP, JPEG, PSD, PNG, TGA a TIFF
• rozsáhlý katalog běžných definic s dokumentací